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L'application du lemme (§2) nous conduit â la relation 



lr(Ci)l^- Ml 

 et a fortiori 



M r^ M, . 



Les inegalites (3) sont donc etablies. 



4. Des relations analoguesauxrelations(3) peuvent etre envisa- 

 gees en groupant les îermes de Ia serie (1) en p sommes contenant, 

 respectivement, 



^o(^): tous les termes dont l'indice est un multiple de p : 



donc de la forme kp (k O, 1,2,... ). 

 ']>^{z): tous les termes dont l'indice est de la forme kp-\-l 



'7'p_i(^): tous ies termes dont l'indice est de la forme kp ip—l) 



Un lemme, generalisant celui du § 2, conduirait aux relations 

 (5) M ; ^ Mo , M -::: M, , . . . , M ^ M^_i. 



5. Les relations classiques, dites inegalites de Cauchy, 



M^ ia„i /■" in=0, l, 2,...), 



relatives â la serie ( 1 ), apparaissent donc comme des relations ana- 

 logues â (5), mais correspondant â une decomposition-limite de 

 9(2) en une somme formee d'un nombre inîini de parties. 



Le procede employe pour etablir les relations ( 5 ) peut donner, 

 convenablement interprete, une demonstration elementaire des inega- 

 lites de Cauchy. 



6. Dans un contour C possedant un centre de symetrie", une îonc- 

 tion holomorphe 'i>{z), continue sur la frontiere, peut etre decom- 

 posee en une somme 



'^{z) =f{z) -i- siz)' 



tout-â-fait analogue â (2) et les proprietes (3) des modules maxi- 

 mums subsistent. 



On voit, en eîfet, que si f (z) est une fonction paire et g{z) 

 une fonction impaire, tout le raisonnement fait pour la circonference 

 \z\= r est appliquable au contour C. 



(Tipărit la 20 Octombrie 1921). 



