- 31 - 



Ceci etant nous voulons demontrer le theoreme suivant: 



5/ le terme general de la serie tend vers zero pour n = co , 

 ii ne peuf arriuer que ces deux cas extremes : 



1°. Ougbien la serie a une seule valeur limite; 



20. Ou bien l'ensemble des ualeurs limites de la serie a Ia 

 puissance du conţinu. 



2. Series a termes reels. En supposant 



a fe S„ S; 6 



nous allons demontrer que, si Ton a 



lim u^ = pour 77=00 



et si c et flf sont deux points limites distmcts de l'ensemble de 

 pointsS„, tous Ies points de l'intervalle {c, d) sont des points 

 limites de cet ensemble. 



Precisons Ies hypotheses que nous venons de faire. 



P. Le terme general i/„ tend vers zero, lorsque n augmente 

 indeîiniment: donc, â tout nombre £ > O, on peut faire correspondre 

 un nombre P, tel que l'on ait 



(3) I S„-S„., 1 < s pour n > P. 



2°, c et of sont des points limites de l'ensemble E:donc, pour 

 le meme nombre e > O, on trouve deux nombres Q. et R et deux 

 suites infinies de nombres entiers mi, 7772 , . .., /tî;^,..., f^i, {A2,..., 

 [A^,... pour lesquelles on ait simultanertient 



i S^^ — c j < e pour 772;, > Q 

 ^"^^ i S,x^- rf ! < £ pour v^ > R. 



Supposons Ies indices m^, [if, ranges en ordre croissant: 



' ' ■ V-a H rna rntj ... 777^^ y-c - - ■ V-n ^g . . . 



et considerons Ies groupes formes de deux suites consecutives de 

 nombres 777 et i^. Si, dans le groupe de rang /, 

 777a mt, . . . mp M-c . . . t^n 



on trouve plusieurs nombres 777 (ou p.) â la suite, on n'en garde que 

 Ies plus petits, que nous designerons par n^ et v/ respectivement. 

 On a ainsi la suite alternee et croissante 



(5) 77i < Vj < 772 < V2 < . . . < 72,. < V. < ^« + i < • • • 



avec 



(6) V, = 72, + /?, , n,+, = V. + ^. . 



