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La suite de tous Ies nombres entiers et positifs se trouve di- 

 visee, par Ies nombres de la suite (5), en une infinite de groupes. 

 Le groupe de rang /, qui contient /?,. q^ nombres, est 



(7) n,, ;7, + l, n, + 2, ... , V., v.fl, ... , tf.^^ . 



D'âutre part, designons par N le plus grand des nombres P, 

 Q, R considiâres plus haut et supposons que l'on ait 



(8) ;?, >N pour i> X 

 Ceci etant, la suite des nombres S„ 



(^/) ^m ' ^H/^lj ^n,. -2» ••• j ^'^i ^ Sv. +1 , ••• >S„.^^ 

 satisîait aux conditions suivantes: 



(9) |S„.-c|<£ , |Sv. - ^|<s , |S„,i-Sj<£ 



n etant un nombre quelconque du groupe (7) et ceci quel que 

 soit /> Â. 

 Par suite 



I Sv.-S,,. I - I ^ (S„^-,/,_ S„. ^-1)1 [k^ \, 2,...,p,) 



et ii en resulte que 



(10) \ d - c\ <{Pi-^2) e. 



Les nombres p, ne peuuenf pas restev finis lorsque i augmente 

 indefinimenr. 



En eîiet, si l'on avait p- < p, quel que soit / > Â, 1' jnegalite 

 (10) donnerait 



I ^ — c I < (p + 2) £ 



et comme les nombres d ei c sont determines et £ est arbitraire- 

 ment petit, ii resulterait 



d — c O ou d c , 



ce qui est contraire â 1' hYpothese. 



Les nombres p, augmentent donc indefiniment auec i et ii en 

 est de meme des nombres q^. 



Soit u un point de l'intervalle {c, d). Aussi pelit qu' ii scit £, 

 ii existe une infinite de nombres S„ compris dans Tintervallc 

 (/i — £, w -f £). 



