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En eîfet, 1' intervalle {u — s., u s.) ayant la longueur 2e d'a- 

 pres Ies inegalites (9), ii existe au moins quafre nombres S„ de la 

 suite (a.) compris dans cet intervalle et ceci pour chaqiie valeur 

 de i > \ II Y 3 donc une infinite de nombres S,, compris entre 

 i/ — £ et w+£ aussi petit qu' ii soit t. Le point u est donc un 

 point limite de l'ensemble'S,, ou une ualeuv limite de la serie (1). 



Comme u est un nombre quelconque de 1' intervalle (c, d), ii 

 resulte que tous Ies points de 1' intervalle [c, d) font pârtie de 

 l'ensemble derive E'. Par suite, Vensemble E' des valeurs limites 

 de la serie (1) a la puissance du conţinu. 



Exemple. Considerons la serie 



2 2^33^3 ^m 2m 2/71 + 1. 



la îraction . etant ecrite 2m îois. 



2m 



On a S, 1, S:<. 0. So - 1, S,,, -- O, . . . 

 O ^ S„ ^ 1, u,,^ ~ 2I 0^ + 2m-.r 

 Par suite 1' ensemble E des valeurs S„ est borne; le terme 

 general w„ tend vers zero lorsque /? augmente indefiniment; la serie 

 (11) a au moins Ies deux valeurs limites distinctes O et l. 

 En posant 



/2, 14-2 + 3 + ... + (2m-l) m (2w -1), 

 V. - 1 + 2 + 3 H- . . . + 2m m {2m + i ), 



on a 



S„. = 1 , Sv. 



et la suite 



est, dans ce cas, 



(\2) 1 2m-l 2m-2 •! 



2/77 ' 2/77 ' " ■ ' 2/77 



Lorsque m augmente indefiniment, 

 de tous Ies nombres rationnels compris entre O et L 



L'ensemble derive E' est forme par tous Ies nombres reels 

 compris entre O et 1 ou par tous Ies points du segment (O, 1). 

 Donc tout nombre reel de /' intervalle {O, l) est une valeur limite 

 de la serie (11). 



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