— 34 - 



3. Remarques. A l'aide de deux series convergentes on ne 

 peut pas former une serie ă deux limites. 

 En efîet, soient 



(13) S :: a , , a-^ S ?„ 



deux series convergentes ; s^ et a^^ Ies sommes de ieurs p premiers 

 termes. La serie 



(14) a +a -f-... + a. + Ş^+... + Ş. + a. ^;+ ...+ a^ + ?^. +, + ... 



satisfait â la condition limw^^^O pour /2 = oo et Tensemble des 

 valeurs S„ est borne, car on a 



(15) S„ s^ + ^.7 iP + Q ^ ' ri). 



Donc, si eile avait deux limites distinctes, elle en aurait une 

 infinite. Mais on a 



lim S„ ^- lim s + lim a =^ s + ^. 



La serie (14) est convergente et a pour somme Ia somme des 

 deux series (13). 



Si l'on prend, avec Ies series (13), une serie divergente 



(16) u^ + u^ + . . . + u„ . . . 



pour laquelle 



lim u„ O, 



Ia serie 



(17) (a, + Z7, ) - (.^ -u,) + {y-., - ^^J + (p3 - "J + • . • 



esl encore une serie convergente, zdiX on a 



(18) S^,„ s„ + a,,, S,„+, s„+, + a , + w„+, 

 et par suite 



lim S^„ ^- s + a , lim S^,,^! - s + o. 



Au contraire, si l'on prend, avec Ies series convergentes (13), 

 une serie divergente (16) pour laquelle 



lim w„ A , 



A etant different de zero, la serie (17) est une serie ă deux limites, 

 car Ies relations (18), donnent dans ce cas 



