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bien un ensemble conţinu de droites limites, qui remplissent un 

 domaine compris entre deux droites extremes Y, {y = y), Y^ {)> == S ). 

 Ce sont Ies droites limites de Ia seconde categorie. 



Si X c est une droite limite de Ia premiere categorie, entre 

 deux droites x : — h, x ^ ; -r h, ii existe une infinite de 

 points S„, aussi petit qu'il soit h- 



II Y a de meme pour deux droites y ^ f\ — h, y^^f] ^ h, si 

 y = r^ est une droite limite de la seconde categorie. 



Ceci etant, designons, comme plus haut, par E 1' ensemble 

 des points S„; par E' l' ensemble derive de E. Plusieurs cas peuvent 

 se presenter: 



1". Chacune des suites a'„ et y,, a un seul element limite ^ et 

 Tj respectivement. C ' est Ie cas ou ii n'existe qu ' une seule droite 

 limite X et Y de chaque categorie. 



Dans ce cas r ensemble E' est forme par un seul point. 



En eîîet, £ > O etant donne aussi petit que I' on veut, on trouve 

 un nombre v > o, tel que pour toutes Ies valeurs n > v on ait 



et, si l'on pose 



>^n-U<^, l;^„ - ^ l<| 



S - ^ + / Vi, 



on a, pour n > v, 



(24) I S„ - S I < 3. 



La serie (1) est donc convergente et elle a pour somme Ie 

 nombre S, qui correspond au point d' intersection des deux droites 

 limites X et Y. 



2''. La suite x„ a un seul element limite ^, mais Ia suite >'„ a 

 comme elements limites tous Ies nombres compris dans I' intervalle 

 (r, «) (a ^ T < ^ ^- l^). Cest le cas ou ii y a une seule droite 

 limite X, mais un ensemble conţinu de droites Y comprises entre 

 Ies droites extremes Yj {y y) et Y2 {y S). 



Soient P et Q Ies points de rencontre de la droite X avec Ies 

 droites Y, et Y2. 



Dans ce cas, l' ensemble E' est forme par tous Ies points du 

 segment rectiligne PQ. 



En eîfet, soit M un point de ce segment. Son aîfixe est ? t / y^, 

 Ti etant un nombre de 1' intervalle (y, 5). 



Mais, par hypothese, r^ est un element limite de la suite ;'„ 

 c'est dire qu'â tout nombre e > O, ii correspond une suite de 

 nombres entiers 



