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En effet, dans le cas contraire, on pourrait determiner un nombre 

 V, tel que, pour n > v, Ies points S„ ne se trouvent plus dans une 

 des regions A, ou A. . On aurait, par exemple, r ^ y„ ^ i^ pour 

 toutes Ies valeurs de n > v. Mais ceci est contraire â l'hypothese 

 que la suite j',, admet une infinite de valeurs limites superieures a r^. 



b°. Sur la droite Y // existe au moins un point limite de 

 lensemble S„. 



En efîet, ou bien ii existe sur la droite Y un point P, ou la 

 ligne L coupe cette droite une infinite de fois; ou bien L coupe la 

 droite Y en un nombre inîini de points P^ ^ P.^ , • . • , P, , . . . , mais 

 alors l'ensemble des points P,- admet au moins un point limite P 

 situe sur la droite H. 



En designant toujours par Ies memes lettres Ies points et leurs 

 affixes, nous allons prouver que, dans tous Ies cas, P est un point 

 limite de l'ensemble Sj , S^ , . . . , S„ , . . . 



Soit, en general, S/,.S/,.+ile cote de la ligne brisee L, qui 

 coupe la droite Y au point P,-. Les nombres entiers /?,• augmentent 

 indeîiniment avec /. 



Par hypothese, ii existe une suite inîinie de nombres entiers, 

 positiîs et croissants 



(27) /, , 4 ,..., 4,... 



ayant la propriete suivante: â tout nombre £ > O arbitrairement 

 donne, on peut îaire correspondre un nombre \ tel que l'on ait 



P/^.— P < 3 pour i,^> Al. 



D'autre part, on trouve un nombre Â2, tel que, pour / < X2, 

 on ait 



S„, -1- S„J < £. 



Prenons Â superieur â Âj et â a^. Pour tout nombre 7 de la 

 suite (27) superieur â a, on a simultanement: 



P, — P ■ < £, 



et l'on en deduit 



! P - S„J < 2e 



pour une infinite de nombres entiers n.. Donc P est un point limite 

 de rensemble des points S„ . 



