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On voit ainsi que Tensemble E' est forme par toiis Ies points 

 (i'un arc conţinu de la courbe T. 

 l-ev exemple. La serie 

 ^, 1 + / 1 + / 1 -r / 1 -t- / 1 + / 



"" T/7-1 ^ 2 n-\ f" ■ ■ ' + 2rr-\ 2n ' ' ' 2/7 



OU le nombre des termes egaux est egal au denominateur commun, 

 satisfait ă la condition lim u,^ O pour n oo. 



Les sommes S„ prennent une infinite de îois Ies valeurs O et 

 1 /. Toutes ces sommes sont de la forme a + ai. Les points S„ 

 se trouvent donc tous sur le segment rectiligne OA, O etant l'origine 

 et A le point 1 + /. Uensemble E' est forme par tous les points 

 du segment OA. 



2-e exemple. Considerons l'ensemble E forme par les points 



S^= P e^^ 



m q 



>~ etant, pour toutes les valeurs entieres de n, les fractions 



12 2/2 2// 2n — 1 ^0 



2/?' 2 n "" 2 n' 2/7 + 1 ' 2/7 + 1 ''"'277 + 1 ' 



Les sommes S.„ prennent une infinite de fois les valeurs O et / 

 et tous les points S^ se trouvent sur l'arc V (o, z) de la courbe 



qui est une spirale d'Archimede. 



Les points O et / sont des points limites de l'ensemble E. 

 D'autre part le module du terme general u^^ de la serie correspon- 



dante, qui est egal ă la corde S„-iS„, tend vers zero avec ^- 



n 

 car l'arc S„_iS„ tend vers zero avec la difference 



arg S„ — arg S„_, . 



On en conclut, que l'ensemble E' est forme par tous les points 

 de rare 1\ 



2". Si la ligne brisee L a une longueur determinee, la somme 

 des |i/„| est finie et la serie est absolument convergente. 



3^ Si la ligne L a une longueur infinie, mais elle tend asympto- 

 tiquement vers un point A , l'ensemble E' se reduit â ce point ; la 

 serie est convergente, sans etre absolument convergente, et sa 

 şomme est l'aîfixe du point A. 



