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4°. II peut arriver que Tensemble derive E' remplisse complete- 

 ment une aire A. II est facile d'en donner des exemples. 



Considerons le rectangle A (/), B (1+/), D (1—/), E (— O- 

 Soient O et C Ies points O et 1. En divisant Ies cotes AB et ED en 

 quatre parties egales, on a deux groupes de points equidistants: 

 AIGKB et EHFjD. 



Nous prenons comme L ia ligne brisee suivante: 



OABCDFGAOEHIGFIKBC... 

 Ies cotes qui vont de O â C ou de C â O ayant respectivement 



comme longueur : 1 , 2 ' 22 ' * ' " ' 2« ' " " ' 

 Ainsi, Ia suite des valeurs S,„ est: 



1 . 

 _...,. / , .1 1 i ^ \ i 



0. /, 1+z, 1, 1-2. 1-/, 2"^ 2-y' y + T' ••• 



Le module de zi„ etant la distance S„.^ S„ , on a bien 

 lim z/,, = O pour n — oc. 



]e dis que tout point M du rectangle A B D E est un point 

 limite de Fensemble E. 



Divisons la suite S,„ en groupes ^''1,^2, ••.^„, ••• correspon- 

 dant aux portions L, , L ,..., L,,,... (de la ligne brisee L), qui vont 

 de O â C ou de C â O. 



Designons par A^^ Ies droites 



des deux points S^, S^ + ^ du groupe g„ . 



On en conclut que, pour n > v, quatre points S,„ au moins, 

 du groupe g„ , sont â I'interieur du carre C^,, qui a le point M comme 

 centre et le cote egala 2£. Comme on a une infinite de groupes g„ , 

 le carre C^^ contient une infinite de points S^ de l'ensemble E, aussi 

 petit qu'il soit £, 



