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Dans la premiere pârtie de ce travail nous etudions une re- 

 presentation des polvnomes quelconques par des integrales deîinies. 

 Dans cette etude Ies polvnomes P„ jouent le role îondamental. 

 Dans une deuxieme pârtie, nous considerons Ies polynomes de la 

 classe de M. Appell (2) que nous etudions en rapport avec la repre- 

 sentation par integrale de la premiere pârtie et aussi avec Ies 

 polynomes orthogonaux. 



I. 



1. A tout polynome Cl{x), du degre n en x, on peut faire cor- 

 respondre un polţ^nome R{u) et un seul du degre n en u, tel que 

 l'on ait 



h 



(4) Ql{x) I K{u){x-u)" R{u)du. 



' a 



Si l'on a aussi 



b 



(5) Q(.v) I K{u){x-u)" S{u)dii, 



Siu) etant un polynome du degre q iq superieur k n) alors, 

 S{u) R(w) ci, P„^,(«) ^2P„^ Au) ... - a,_„P,(«). 



En effet, en identiîiant Ies deux membres de (4)on obtient un sys- 

 teme de ;? -f 1 equations lineaires pour determiner Ies n - \ 

 coeîîicients de R(w). II ne peut y avoir indetermination, car si 

 l'egalite (4) etait satisîaite aussi par le polynome a" {u) du degre n 

 en u, on deduirait que 



I K{u){x-u)"IR{u) .Ji'{u)\dii O 



'■ a 



quelque soit v, donc que 

 b 

 I K{u)u' lR-.# )du O 

 • a 



pour / O, 1, . . . /?; ce qui est impossible, car en multiplianl 

 toutes ces n 1 egalites respectivement par le coeîficient corres- 



( O P. Appell, Sur une classe de polynomes (Ann. Ec. Norm. 1880). 



