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pondant â u' dans le polvnome (R — ■^) et en ajoutant en suite 

 toutes ces egalites membre â membre, on arriverait au resultat 

 absurde 



.b 



\ K(zO[R- - 1'^^" 0. 



' (/ 



La deuxieme pârtie de notre proposition s'etablie immediate- 

 ment en remarquant de meme, que des egalites (4) et (5) ii resulte 



b 

 j K{u)u' {S-K)du O 



• (/ 



pour / O, 1,2,..., n. Donc, d'apres Ies egalites (2), 



2. Si leqiiation Q(.v) = a p racines reelles et disfinctes, toutes 

 supăr ieures ăb ou toutes infevieures ă a (b superieur a a), l'equation 

 R (a) o aura p racines reelles, comprises dans l'intervalle (ci, b). 



Soient r, , r, , . . . , r^^ Ies p racines de Q (a) 0. Nous Ies sup- 

 poserons toutes superieures â Z? et ordonnees de telle îagon que 

 la suite r^, r^ ,...r^,, b soit decroissante. De l'egalite 



b 

 I K(w) (r — «)" R{u)du O, 



* a 



on deduit que R(w) doit changer de signe lorsque u varie de a â 

 b\ R(«) a donc au moins une racine dans cet intervalle, racine 

 que nous designons par 9\- 



Supposons que, aux /— 1 racines r, ;;,..., r,_i de Q (.v) - o 

 correspondent Ies /— 1 racines ?^, p., ,..., p,._, de R (v) o comprises 

 dans l'intervalle {a, b). Notre proposition sera demontree si nous 

 prouvons que, â la racine r, , correspond la racine p,, de R(.v) O, 

 situee dans le meme intervalle. 



Considerons pour cela le polynome du degre n ex\ u 



[11— r^ )" (« — rj" . . . [u r,-]" 



(6) t(.)^ '^■-'^•" <^--^t"--- '^-^^l" 



(P,_,-r,)" (P'_-rJ". ..(p,-_-r,)" 

 et cherchons le nombre de racines de ce polynome inferieures â b, 



