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OU, ce qui est la meme chose, le nombre des racines positives de 

 T (b — u) ^ O, En developpant le determinant (6), l'equation prece- 

 dente pourra s'ecrire 



(7) Â, (// + a,)" + \ [u + a,)" + ... -r \. {U -.- a.)" O, 



OU a,, aj,..., a. representenî respectivement Ies quantites r^—b,r^—b^ 

 ...,ri — b, donc des quantites positives decvoissantes, et )es coeîîicients 

 Âj, \,..., Â. resultent du determinant (6). D'apres le theoreme de 

 Descartes, le nombre des racines positives de (7) ne peut depasser 

 le nombre des variations de signes que presente la suite 



Mais le nombre des variations de signes de cette suite est, d'apres 

 des resultats etablis par Laguerre(M, au plus egal au nombre des 

 variations de la suite 



par suite i—l au plus. Donc l'equation T (u) = O, qui a pour 

 racines Ies / — 1 quantites ?i,?.,, . . .,?/_-i inferieures â b, ne peut 

 auoir d'autres racines inferieures ă b- Posons alors 



^ (w) = (w — p) (u — p) ...(//- r^-._,) 

 et 

 (8) T(//) = z{u) Sin) , R(//) E(//) a{u) , 



Siu) et -^{u) etant des polynomes en u. Lorsque u varie de a h b 

 S (u) garde un signe constant; si le polynome ':^(^/) rhange de signe 

 ii râsultera que R (u) admet encore une racine p,- dans cet inter- 

 valle. Mais des / egalites 



j K (ii){r.-~u)" Riu)du O, 



oii ./" 1, 2, ...,/, ii resulte, en tenant compte de (6), que 

 b 



\ K{u) r{u)Riu)du =0. 



(1) Sur la theorie des equations numeriqiies (OEuvres t. 1, p. 27). 



