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En remplagant alors T(u) et R(//) par leurs expressions (8) nous 

 voyons que cette egalite ne peut avoir lieu que si ^(u) change de 

 signe dans l'intervalle (a, b). 



Notre proposition se demontrera, de meme, dans le cas des 

 racines r, , ^,, • • •. '',■ toutes inîerieures ă a. 



Remavque. Dans la demonstration donnee, nous ne nous sommes 

 pas servi du îait que R («) est un polynome du degre n. Donc si 

 nous raisonons sur l'egalite (5) comme nous venons de le îaire sur 

 (4), nous arrivons â la proposition plus generale: 



Si l'equation Q (x) O a p racines reelles et distinctes, toutes 

 superieures a b ou toutes interieures a a, {b > a) l'equation 



R (.V) i a^ P„ , (.V) ^ a[^ P,, ^ , (x) - ... - a^_„ P^ {x) = O, 



oii ii^ , «„, . . . , "<j_;, sont des constantes quelconques, aura p racines 

 reelles, comprises dans f inter ualle {a, b). 



3. Prenons dans l'egalite (4) le polynome Ci{x) sous la forme 

 «o .v" - C:, a, .v"-' + C-; a2 x"-' - . . . . ^ (-1 )" a„ • 

 11 resulte alors que 



(9) I K («) ii'R {u) du - a,. (/ = O, 1 , n). 



■ a 



Sous cette forme on voit que le polynome R{u) generalise 

 le polţ^nome orthogonal P„ («) defini par la condion (1). En effet, 

 cette condition est equivalente aux conditions (9) oii l'on prendrait 



a„ = a, = . . . = a^^_^ = 0. 



Une proposition qui resulte des egalites (9) est la suivantes: 

 5/ /?, le degre du polyonme Q{x), est un nombre impair, alors 

 .b 

 I K{u)Q{u) R{u) du = 0. 



' a 



En effet, en multipliant Ies egalites (9) respectivement par 

 (_I)"-'C";/ a , . et puis en ajoutant membre â membre Ies egalites 

 ainsi obtenues, on trouve l'egalite que nous avons en vue. 



Les egalites (9) nous conduisent aussi â un procedă general 

 pour determiner le polynome R{u) a l'aide des polynome orthogo- 

 naux P„('0. Soit le developpement 



R{u) = >.„ P„(//) + Vi P«-, (") . • . -r ^«0 Po 



