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 y I K (70 ix-u) '" //{li) an 



sera une integrale particuliere de cette equation, si l'integrale (14) 

 est identiquement nuile, donc, d'apres (2), si 



(16) . //(«) N («)- /- P,„_„ - A P , , X p. ^ 



En exprimant que le second membre de cette relation estdivisible, 

 par N(«), on aura n relations lineaires entre Ies 2/z constantes X, 

 Â2, . . . , \„. En prenant arbitrairement Ies premieres n constantes 

 ^-P h> ■ •. S,. O" exprimera Ies autres n lineairement â l'aide de celles-ci. 

 De sorte que l'on aura 



■//(//) N (w) /-, T ; Ţ , , _ ;. ţ 



OU Tw ' „-/ est un polynome du degre ;/? ^ // / en u divisible par 

 N\{u); en designant par U,,,., le quotient de cette division, on aura 



//■ (u) X, U,,,- X, U,„, . . ^ X„ U, 



,-n + 



L'integrale generale de lequation diîîerentielle (12) sera donc 

 (17) ;- ^ A. 1 K (//) (A-z/)'" U,„_,.,, du. 



Mais nous avons donne dans Ies Comptes Rendusi}) une autre 

 forme â l'integrale generale de (15), â savoir 



(18) y - Ci (.v-r,) + C2 (-^-r2) + C„ i-^-rJ 



011 ri, r2, . . . , /'„ sont Ies racines supposees distinctes (-) de l'equation 

 N (x) 0. En identiîiant ces deux expressions (17) et (18) de l'in- 

 tegrale generale de (15) on a une relation, qui, dans certains cas, 

 nous permet de mettre Ies polynomes de la forme (18) sous la 

 forme (4). 



Appliquons, eneîfet, ces considerations au cas particulier a --1, 

 b 1, K («) - 1, N («) «2_ ]^ L'egalite (16) deviendra, dans ce cas, 



( 19) («2-1 ) ._yg{u) - Xi X^ +2 + X2 X„, + 1 -f X, X„, + X4 X,,,., 



" - - - • 



(1) Sur certaines equations diffeventielles lineaires completement inte- 

 grables, (tome 172, p. 40). 



(-) Pour le cas des racines egales, voir loc cit. p. 41. 



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