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en designant par X„ le polvnome de Legendre du degre n en u. 

 On sait que X„ (1) 1 et X„ (— 1 ) ( — 1)"; donc le second membre 

 de la relation (19) sera divisible par ii'^—\ si Â;^ —a, et Â4 — >^2. 

 La relation (19) deviendra 



(W2-1). /.(/O Â,(X,„ + 2- x,„)H-/.2(x^. i-x„,.i) 

 Mais, d'apres ia relation connue, 



cette derniere relation nous donnera 



.//(//) -C, X',, + , +C2 X'„, , 



Ci et C2 designant des constantes arbitraires et X'„; etant la derivee, 

 par rapport â 11 de X,„. 



On doit donc avoir, en identifiant Ies integrales generales (17) 

 ct (18) correspondantes â ce cas particulier, 



+ 1 

 (A- + 1)'" + c (.v-1 r ^ I (-v-//)'"i C, X'„,_„ + C. X' J 

 • -l 



Les valeurs de Ci et Q> se trouvent îacilement, en fonction de la 

 constante C, en îaisant dans l'integrale du second membre une in- 

 tegration par parties. On a ainsi 



(•^- 1)"'-^H (.vV|X',„ + , + X'^| du 

 ' -1 



. + 1 

 (.v+ !)■ (-^) I (v-w) |X'„,+, + X'^l du 

 ^ • —1 



formules qui se deduisent d'ailleurs l'une de l'autre par le change- 

 inent de v en v et de // en //. 



5. Des resultats obtenus au point precedent, nous pouvons 

 deduire une propriete generale des polynomes orthogonaux P„. 

 Particularisons, en eJfet, Ie polynome M(«) et prenons dans l'expres- 

 sion ( 12) // (/0= 1, donc 



b 

 M(/0= l Kiu) {x^uy'du. 



