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 L'expression E, donnee, ă un îacteur constant preş par (14), sera 



(20) E= j K{u)^{u){x~uT-"du. 



"' a 



Nons voyons alors.que si N(«)estun polynome d'un degre n 

 superieur â m— n, donc /n ^ /2 > ~, rintegraie (20) est identique- 

 ment nulle si 



ou s = 2n — m et Cq, Cj, ...,c^_, sont des constantes arbitraires. 



Donc, en nous rapportant â la forme iniţiale de l'expression E, 

 nous concluons que: 



Le polynome orthogonal Vk {x), ou k a une des ualeurs n, 

 n — 1 ,,..,n — S4-1, {s^2n — m), verifîe la relation 



■ d"^'Pu dm 



/:=0 dx" ' dX ' ' ' 



OU 



M - I K(^0 {x-u)'"du. 



' ii 



II. 



6. Dans son memoire cite, M. Appell considere la suite de poly- 

 nomes 

 (21) Ao, Al, A2, ...,A„, ... 



oii A„ est un polynome du degre // en a:, entre deux polynomes 

 consecutiîs ayant la relation 



dl\. 



(22) — "••.-/ 



dx 



Nous pouvons deîinir completement une suite (21) par Ies 

 conditions supplementaires 



(23) A„(0)-- f,, n-^0A,2,... 



(^ii, ^'1, C2,... etant des nombres donnes. En eîiet, de ia relation 



24) . '^'^' -«(/^^ 1)...(«-P+1)A„_^ 



