Sur Ies series de polynomes ă une variable complexe, 

 Series de M. Faber 



par 



N. Abramescu, 



maître de conferences ă l'Universite de Cluj. 

 Seance du 15 Decembre 1920. 



1. Etant donnee une îonction/(A:), reguliere dans la region limitee 

 par une courbe (C), ă simple connexion, on sait(') que M. Faber a 

 indique une methode pour representer la îonction fiz) par une 

 serie de polynomes, 



f{x) Sa„P„(A:), 



ou Ies polynomes P„ ne dependent que du contour (C) et Ies coef- 

 ficients «„ dependent du contour et de la fonction f{x). Le resultat 

 est obtenu par une transformation conformei^) 



(1) Z- g{Z) ^+cp(Z), ţ)(Z) ao-;-aiZ + ...-f «„Z"+..., 



qui îait correspondre au domaine exterieur â la courbe (C) la 

 region interieure ă un cercle (T) de rayon egal ă l'unite. 



Si V est un point interieur au contour (C)« on a, [y I gil)], 



2^^i} z-y 2T.i) g{Z)-y 



c r 



et donc, au voisinage de Z o, 



h^7^ - -"'^^^ -- 1 -U Z cp'(Z ) ry(Z)->> 

 ^ ^ gW y Z "^ a-î-Zcp(Z)+Z3; 



2. Nous allons indiquer de nouvelles proprietes des polynomes 

 P„ de M. Faber. 



Remplagant -^(Z) par sa valeur de (1), on trouve 



(>) Faber, Ueber polynomische Entsvikeluagen (Math. Annalen, 1903, p. 

 389; 1907, p. 118); Picard, Trăite d'Analyse, tome II, p. 319; Montei, Legons sur 

 Ies series de polynomes ă une variable complexe, p. Ib. 



(2) Certe methode a ete employee par Darboux, en 1878, en determinant 

 la region de convergence des series de polynomes qui naissent de Ia serie 

 liypergeometrique, dans son -iMemo/re sur l'approximation des . fonctions de 

 tres grands nombres et sur une classe etendue de deueloppements en series > 

 (loumal de Liouville, 1878). 



