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mais le domaine d'integration esi different. Pour trouver ce domaine 

 cherchons d'abord le lieu des points N(w,v) qui correspondent au 

 points M(jc,>'j tel que V-' 1-2= 1. En faisant dans Ies formules (3') 

 .t2 + y2 — 1 — o , on a 



I _2a—2aby + {b2'a2)x 



( ^ ^ ) I _2 b~~2 abx i- (a^ ~6^ )y 



\ " a^+b'^ 



d ' oii 



Donc le lieu des points N(w,v) est Ie cercle I' 



1 a2 0-^2 I 1 a2^^2 1 



Pour demontrer que le domaine d'integration cherche est le 

 domaine interieur â ce cercle V, prouvons que ce domaine et le 

 domaine x'^ -y^^\ se correspondent mutueliement point par point. 

 Des formules (3') on tire 



1 fl2_L62 I I a^ + b"^ I a^ : b^ ' 



ce qui nous montre qu'ă tout point MU, v) tei que x'^-^y'^. \, cor- 

 respond un point N(w,v) â Tinterieur de V. 



Des egalites (8) et (9), qui subsistent, on voit que si le point 

 N est â l'interieur de F, donc N0'-;1 et NO 1, on a M0<1. 

 Nous voyons ainsi que le domaine d'integration pour l'integrale (13) 

 est bien le domaine interieur au cercle l\ 



On peut verifier facilement, par le changement des variables 

 (14), que Ies deux integrales doubles (12) et (13) sont identiques. 



3. Considerons le deveioppement 



(16) \ = l 0'"b" \Jn,,n 



I H m, n -- O 



oii Um.n sont Ies polynomes d'Hermite(') et aussi le deveioppement 

 par la formule de Taylor 



(1) 0Euvre5. tome II, p. 324. 



