— 508 — 



Dans ce travail nous allons etudier quelques classes de suites 

 de nombres definies par des relations de recurrence, qui satisfont 

 aux conditions du probleme de M. Pompeiu. 



Suites polynomiales. 



4. Designons par A"y„(n- O, 1, 2, ...) Ies diîferences d'ordre 

 p de la suite 



(1) ^0, «1, Ih, ■■■, Un, .... 



On salt que l'on a: 



A U„=:Un+^ — Un 



A2 «„ = «„ + 2 — 2 M„ + 1 -f.M;^ 



A3 W;, = «„ ^ 3 — 3 «„ + 2 + 3 w« ^ 1 — W/7 

 et en general 



On peut toujours determiner un polynome P(x), de degre p, 

 qui prenne Ies valeurs «o»"i,«2> • • • » «n pour x = XQ,XQ-{-h, 

 Xo^2h, . . . , Xo^ph respectivement. Cest dire qu'on peut toujours 

 determiner une courbe pol\^nomiale de degre p, y=^P{x), qui 

 passe par Ies points 



Po(Xo,Mo), Pi(Xo + /Z,«,), ..., Pp(Xo+/7/z, «p ). 



Si A' Un est une constante, quel que soit n, on dit que la suite 

 ( 1 ) est une progression par diffărence d'ordre p et l'on a 



AP + ' «„ = O 



quel que soit «. 



5. Supposons cette condition remplie: 



(6) AP-t 1 u, = S (-ly^y-k c^_^ ,u„ + k^O (/2 = 0, 1, 2, . . . ). 



Dans ce cas la courbe y = P{x), definie plus haut, passe par 

 foiis ies points P„(XQ-]nh,Un) correspondant a la suite (i). 

 En effet, soit 



