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 (5) x/'^-^ + (x I X ! /0/' + "-^0 



Donc, C etant une constante, 





et par suite, la solution particuliere 



(b) y = \ -~^-dn, x>0, 



de l'equation (5). Cette integrale est aiissi une solution de l'equalion 

 (3). En eîîet, le premier membre de (3) devient, en remplagant y 

 par la valeur (6), 



n\ e-"{u ~xY-'{(n~\)x- (n-x) ( u + X)] ^^^ 



et cette integrale est bien nulle, car 



e "(u—xY^^ [(n -1) X— (u—x) jit 4- X)] _ d_ \ e-"iu—x)"~^ 1 



tf + X ~~ du\ i[n-^X-l J* 



Donc, parmi Ies solutions de la forme (2) de l'equation (l), 

 Ies plus simples sont 



1°. (7) z= 1 rc.p,, 



oîi Ies C„ sont des constantes. Les series (7) sont, d'apres Laplace, 

 Ies îonctions generatrices des polynomes (4). 



\ (n-x)" 



y'l \ (>-" ^ l 



2". z-= X C,„v" \ e-" '" ",' du 



" " ° -x 



ou bien, sous une autre forme 



