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(8) 



-.r::/(^^vi"- 



ou fix) est une îonction ayant un developpement taylorien. Mais 

 cette restriction n'est pas necessaire; ii sufîit que la fonction / soit 

 telie que ['integrale (8) et ses deux derivees aient un sens, pour que 



(8) soit une solution de l'equation (l). On voit, en eifet, que pour 

 cette valeur de z le premier membre de (1) a pour expression 



X II X 



donc ce premier membre se reduit â zero. 



2. Cherchons Ies solutions de l'equation (l) qui soient de la 

 forme 



(9) z= S x"T„(j). 



n=o 



Les fonctions T;, doivent, dans ce cas, satisfaire â l'equation aux 

 diîferences melees 



(/2 + i)(n + X)T„ + i4-/7T„— >'n = 



Pour integrer cette equation, posons 



n\ X(n + l) ... (X-i-n-i)T„ = U„; 



l'equation precedente devient ainsi 



U„ + 1 == j; U'„ — n U„ , 

 ou bien 



y'' + '^ dy [yl 

 Par suite, de proche en proche, 



Donc, en prenant pour Uq une îonction arbitraire 9(y), nous 

 aurons 



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