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bone a = o ou a=i. Pour rt = 0ona6 = 0et par suite la 

 solution banale it et v des constantes. Pour a=\ on a b = — X. 

 De (12) et (16) on deduit 



v{x + y) = e-^-y, 



y -^ 



en laissant de cote des facteurs constants. 



2^. b-\-Xa= — l. Dans ce cas l'equalion caracteristique de 

 (i4) doit avoir une racine double. Donc a = 1 et par suite h = — X — l. 

 II resulte de (12) et (15) que 



/ . V —X—\ 

 tt{y) = e^y 



v{x+y) = e-'-yil-x-y). 



On a donc deux solutions de Ia forme (11) pour I'equation (l), 

 qui sont, â des facteurs constants preş, 



y —X —x—y —X —X 

 z = e^ y e -"=--}; e 



z=eyy-^-'e-''-y{X-x-y)={X-x-y)e-'y-'-\ 



Remarque. ~ Les fonctions v{x-\-y) que nous venons de 

 trouver sont developpabk-s d'apres les puissances de x. Avec la 

 condition suppiementaire que la îonction vix-l-y soit developpable 

 d'apres les puissances de x, la so'ution (11) prend Ia forme 



serie qui est de la forme (10). On a donc, en posant 



^{y)^ii(y)viy), 



^^ Hy) ^^v'{y) '" X(X+i) ... (X + n-Ovi") 



D'apres ce que nous venons d'etablir, ii resulte que Ies seules 

 fonctions - et v qui satisfont aux relations (17), sont. â des facteurs 

 constants preş, 



t(y) = y~ , v{y)=^-e~\ 

 et 



^Hy) = y~^~\^~y), v{y) = e-y{X-y), 



