BULETINUL SOCIETĂŢII KUMÂNE DE ŞTIINŢE 



Le meme proceda est encore applicable au type d'equations : 

 (2) J^ Ai(x)9(i)(x) +l\Y. Ni(xs)9Q)(s)] ds = f{x), 



i=o j=o 



considerees par M. G. Bratu^), facilement reductibles â des ^qua- 

 tions de Fredholm de second espece. 



Nous nous proposons d'appliquer cette methode â l'etude des 

 eqiiations (i) et (2). 



2. — Nous consid^rons d'abord l'^quation (i), avec l'hypothese 

 A(x)=i, et nous distinguerons deux cas, suivant que m est plus 

 grand ou plus petit que p. 



a) m ;^p. Posons: (p('""'(x)=z ; on aura d'unc maniere generale î 



1)(r)(x) = / '"zds"^-'- 4- C., r, -f • . 4- <^n.-r 



* ^ /o ' i(m — r — i)I 



Jo (p_r— i)! 





. + .-H-C. 



'(m_r-i)! 

 jusqua: 



(3) o(x) = p^-^ZI^'zds + C,.^^^ + . . + C.„ 

 ^^^ '^ ' Jo (m— i)! ' Mm— i)l 



Remplagant ces valeurs dans T^quation (i) on obtient imme- 

 diatement : 



(4) 



=w+/;EA«g;!£:^,z(s)i 



(m-i-i)! 



'3(S— t)""-)- 



+i4£^'i(-)iogEt;)!^('>^' 



ds = F(x) 



ou, appliquand â la seconde integrale la formule de Dirichlet : 



[it=in — I / Kiii — i — I 



+ r^Nj(xt)||=?gi;dtlz(s)ds=F(K), 



qui est bien une equation de Volterra de seconde espece, c'est- 

 â-dire du type simple. 



*) G. Bratu: Comptes Reiidiis de rAcademie de Paris, 1909, 



