BULETINUL SOCIETĂŢII ROMANE DE ŞTlIN'rE 



Le second membre de (4) contient lineairement Ies constantes 

 Ci. . . C„i. La solution generale de (4) depend donc de m con- 

 stantes arbitraires, qui sont Ies valeurs de o(x) et de ses (p — i) 

 premieres derivees â rorioine. L'equation de Volterra donne, 

 par cons^quent, la solution unique de (i), qui prend, ainsi que ses 

 (m — i) premieres derivees, Ies valeurs: C,, . . . C,n, respectivement. 

 Cette solution est obtenue, une fois z(x) determine, a l'aide de la 

 formule (3). 



bj m<<p. Posons, dans ce cas : 



©(p)(x) = z. 



A l'aide des memes formules de transformation, on obtiendra 

 l'equation : 



I~ m . sp — i — I 



..^EA.(x)|zJ_^+N,(xs) 



(5) 



<L"-ofcS^- 



z(s)ds = F(x). 



Cest une equation de Volterra de premiere espece, qui est, dans 

 un cas tr^s general, de la forme : 



(6) /"(^'>'""N(xs)z(s)d3 = F(x), 



avec N(xx)4zo, pour x = o. 



On peut reduire imediatement cette Equation au type simple de 

 Volterra par Tartifice suivant. 



Posons : 



z(s) = y«(s). 

 En integrant (6) par parties, on obtient l'equation de Volterra : 



N(xx)y(x) -£ j^ ^^^Nf (xs)y(s)ds = (- i)-! F(x), 



qui est bien du type simple, puisque par hypothese N(xx)±o. 



Dans le cas general, on aura â appliquer le second ^ theoreme 

 de M. Volterra. 



