iiii,i:ri.\X'[, şocjKTAŢii komâm; dk şiiixjk 



să fie converg-entă şi inteqrabilă în raport cu variabilele x şl y. O 

 condiţiune necesară pentru aceasta, este ca exponentul de conver- 

 Q-enţă al valorilor caracteristice să fie cel mult egal cu 2 : cu 

 alte cuvinte, seria ^i'^n" trebuie sa fie convergentă. 



Nu s'a putut demonstra până acum că această condiţiune este 

 suficientă, nici nu s'au formulat condiţiunile necesare şi suficient'^-. 



17. Sâmbure fără constantă caracteristică. Sâmburele 



o.,(xy) r= a|«l>|(x'^^T,fy) + ..-]- a,,_i ^l'a-,fx)M\.(y) 



ne a dat deja un exemplu de sâmbure fi'^ră valoare caracteristicfi. 

 In mod mai general, dacă s^ria 



n=i 



converg-e uniform, va constitui de asemenea un sâmbure fără va- 

 loare caracteristică, căci toate urmele sale sunt nule : funcţiunile 

 «l> si W formează, bine înţeles, cele două grupe ale unui sistem bior- 

 togonal. Aplicând funcţiunilor <I> şi T o substituţie biortogonală 

 oarecare, vom obţine astfel o clasă foarte întinsă de sâmburi fără 

 constante caracteristice. Iată câteva exemple : - 

 Să luăm 



<I),i(x) = cosnx , n*n(y) = cosny şi ^ |an' = A 



oSţinem sâmburele ' ) 



CC' 



y^ an cosnx cos(n-j-i)y 



n=s I 



In acelaş mod să considerăm <!>,_,„( x) =^ ^r2.i(x) -— sin nx si 

 'I'2n4-i(x) =- T211 1- ,(x) ^^^ cos nx : obţinem sâmburele *) : 



co 



Y]an cosnx sin ny. 



') 1^. (jOL'RS.vt. M, C'itc. (Ann. de Toulouse, pag. 87- 



