12 BULETINUL .SOCIETĂŢII RUMÂNE UE ŞTIINŢE 



CAP. III 



SÂMBURI SPECIALI 



I. SÂMBURELE SIMETRIC 



1. D-1 D. Hilbert are meritul de a fi pus în evidenţă rolul sime- 

 triei sâmburelui în teoria ecuaţiilor integ-rale. D-sa a studiat com- 

 plet acest caz ; elevii săi, d-1 E. Schmidt, în particular, l-au ajutat 

 a da rezultatelor obţinute o formă şi demonstraţiuni simple şi ele- 

 Q-ante, pe o cale directă. In această lucrare toate rezultatele rela- 

 tive la sâmburele simetric decurg- imediat din teoria generală. 



2. Teorema d-lui D. Hilbert. Orice sâmbure simetric are cel 

 puţin o valoare caracteristică. 



Această teoremă a fost stabilită pentru întâia oară de d-1 D. 

 Hilbert ^) ; D-1 E. Schmidt i-a dat o demonstraţie direct, luând-o 

 ca teoremă fundamentală -). 



Pentru demonstraţie este suficient de a observa că n^+fo. In- 

 tr' adevăr : 



n4== / Ni(S|S2)Ms,|ds2. 



Dar sâmburele Njls^s^) =^ |N(S|S)N(ss2)ds nu poate fi identic nul 

 în tot pătratul de integrare, fiindcă în particular, pentru Sj=rs2 , 



avem 



N^(s,s^)=j[N(R,s)]2ds. 



Prin armare, avem într' adevăr n^^:©. 



Această teoremă se poate enunţa şi astfel : 



Un sâmbure fără constantă caracteristică nu poate fi si- 

 metric. 



Observaţie. La enunţarea acestei teoreme nu ţinem socoteală 

 de sâmburii discontinui, cari sunt egali cu zero, aproape ^) în tot 

 intervalul de integrare ; pentru asemenea sâmburi teorema prece- 

 dentă nu mai este adevărată. Să luăm de ex. sâmburele, nul pre- 



*) D. Hilbert, Ciruadziige I. Mitt. (pag. 72). 



■-) E. SCHMIIJT. P'ntwicklung willk. Fiinotioiien I. Teii (Mah. Aun. Bd. 63, pag. 4SS)» 

 -) Ne Toni folosi de aceasta copresiune, îutrebuinţatît de d 1 Plancherel, pentru a înlocui 

 perifrază t afară de un ansamblu de o întindere nulîl». 



