liULETiNUL SOCIETĂŢII ROMANK DE ŞTIINŢE 



tutindeni în pătratul (oi,oi) afară de diagonala (o,i) şi un număr 

 finit de perechi de drepte, paralele cu axele, întâlnindu-se pe 

 diagonală, unde sâmburele are valori pozitive. Pentru acest sâm- 

 bure avem : 



dar 



n| = /N(ss)ds = 

 n^ ~ I N(siSi)-ds[ds2 



de oarece funcţiunea N(siS2) nu este diferită de zero decât pe un 

 număr finit de drepte: în acelaş mod np = o (p>2), prin urmare, 

 D(X) = e^'\ 



3. Proprietăţile valorilor caracteristice. 



a) Valorile caracteristice ^unt reale. Să presupunem într'ade- 

 văr că X ar fi complex şi fie 9i(x) o soluţiune fundamentală rela- 

 tivă la acest pol. Sâmburele N(xy) fiind real, X, ') va fi de aseme- 

 nea o valoare caracteristică a sâmburelui, iar 9,(x) o soluţiune fun- 

 damentală relativă, atât pentru ecuaţia dată, cât şi pentru ecuaţia 

 asociată. Dacă acum am avea : ^i + X, , ar trebui să avem şi 



J?i(s)?i(s)ds±o, 



ceeace este imposibil. Prin urmare, în mod necesar, avem ^^i^^i 

 adică A^ real. 



b) Polurile sâmburelui rezolvaţii sunt simple, căci o solu- 

 ţiune fundamentală 9,(x) este soluţiune fundamentală şi pentru 

 ecuaţia asociată. Insă : 



J9i2(s)ds + o. 



Prin urmare, în virtutea criteriului privitor la ordinul polurilor, 

 polurile vor fi simple. 



c) Funcţiunile fundamentale coincid astfel cu soluţiunile funda- 

 mentale ; şi, de oarece din cauza simetriei, soluţiunile fundamentale 

 sunt aceleaşi şi pentru ecuaţia asociată, rezultă că funcţiunile 

 fundamentale formează un singur sistem ortogonal. 



