14 BULETINUL SOCIETĂŢII JlOMÂNE DE ŞTIINŢE 



d) Orice sâmbure simetric^ având un număr finit de valori 

 caracteristice^ este neapărat de forma 



fiecare valoare caracteristică este scrisă de un număr de ori 

 egal cu rangul său. 



Intr'adevăr, dacă extracrem din N(xy) partea caracteristică polu- 

 rilor A,j . .Xp, care e tocmai expresia (i), rămâne un sâmbure tot 

 simetric, care prin ipoteză nu mai are nici o valoare caracteristică : 

 în virtutea teoremei d-lui D, Hilbert, acest rest va fi nul. 



4. Inegalitatea lui Bessel. Fiind dat un sistem ortogonal de 

 funcţiuni 9p(x) şi f(x) o funcţiune al cărei pătrat este integra- 

 bil, avem inegalitatea : 



■2-^C,'-^CJ<fv'{x)dx 



Cp fiind ( Deficientul lui Fourier Cp = / f(s)9p(s)ds. 

 Să observăm mai întâiu că Cp există ; într'a levăr avem 



2r(s)9p(s)<f'-^(s) + 9p(s) 

 şi prin urmare 



2 / f(s )9p ( s )ds '^- I + / f'-(s) :ls 



Acest punct fiind stabilit, ineg-alitatea lui Bessel rezultă din eg-a- 

 litatea evidentă: 



/ [ ^(s) — Ci?i(s) — c,9.,(s) . . . — en 9,1 (s) ] -ds = 



/hs)ds--[c;-^ + c/-'-i-.. + c./], 



de oarece primul membru ai acestei egalităţi este evident pozitiv. 

 Deducem de aci observaţia importantă : 



Fiind dată o funcţiune reală^ al cărei pătrat este integrabil, 

 seria formată de pătratele coeficienţilor săi dintr'o serie FoU" 

 rier, este convergentă. 



1) Aj reprezintă cantitatea imaginar conjugat:! lui Aj 



