BULETINUL SOCIETĂŢII ROMAnE DE ŞTIINŢE 15 



5. Desvoltarea unei funcţiuni arbitrare în serie de funcţiuni 

 fundamentale. (Hilbert-Schmidt). Orice fiincţmne f(x) deforma : 



j N(xs)h(s 



)ds 



este desjăşiir abilă înir'o serie complet convergentă de funcţi- 

 uni fundamentale ale sâmburelui Nfxy) ; funcţiunea h(x) şl 

 N(xy) sunt funcţiuni al căror pătrat este integrabil. 

 Coeficientul lui Fourier este : 



IS — .— '), 



C„ =: jN(st)'f.. (t)h(s)dsdt = ^l^n (S)h(s)ds — ^^^ 



astfel că dacă teorema ar fi adevărată, desvoltarea căutată ar (\ 



si.)=Y>¥^ 



= 1 



Vom demonstra mai întâiu convergenţa acestei serii. Pentru 



[h,-M-..4-linr] 



aceasta, să observăm că : 



Ra- = 



hn 9a (^) , hm?in(x) 



'> ~r • • • ~r 7 





Insă expresia —- — = / N(xs) Îs este coeficientul lui Fourier al 

 funcţiunii în y N(xy) ; în virtutea inegalităţii lui Bessel, paranteza 

 doua este deci mai mică ca / N(xs)-ds şi, prin urmare, mai mică de- 

 cât o cantitate finită A. Prin urmare avem : 



ceeace demonstrează convergenţa absolută şi uniformă. 



Rămâne acom de demonstrat că aceasta serie reprezintă pe f(x) ; 

 vom stabili pentru aceasta că funcţiunea : 

 (2) R(x) = f(x)-S(x) 



este identic nulă. 



'; iu acest capitol vom scrie semnul — înaintea integralei în ecuaţia lui Fredhojin. 



