HULET1NU1> SUGIETAŢU HDMÂNE DK STllXtE 



Funcţiunea R(x) este ortogonală cu toate funcţiunile fundamen- 

 tale, în virtutea construcţiunii seriei S(x). Avem prin urmare : 



/R-(s)ds = /f(s)R(s)ds — /s(s)R(s)ds = /V(s)R(s)ds 



=:/R(s)N(st)h(t)dsdt = fh{t] I N(st)R(s)ds = o, 



de oarece 



/R(s)N(st)ds^o '),, 



Deci 



R(s) = o. 



6 Sâmbure închis (ferme, abgeschlossen). Un sâmbure simetric 

 este închis dacă nu există nici o funcţiune h(x), astfel ca să avem 

 identic : 



(2') /N(xs)h(s)ds =r o 



Sistemul funcţiunilor fundamentale ale unui sâmbure simetric 

 închis este complect şi viceversa. Intr'adevăr, identitatea (2) şi re- 



laţiunile /9n(s)h(s)ds = o sunt reciproce, după cum rexultă din ra- 

 ţionamentul făcut în notă, la teorema D-lor D, Hilbert şi Schmidt. 

 Numărul valorilor caracteristice nle unui sâmbure închis 

 este infinit. Intr'adevăr, dacă ar fi finit, numărul funcţiunilor fun- 

 damentale ar (\ şi el finit; însă un sistem complet de funcţiuni orto- 



gonale nu poate niciodată să fie finit. 



i) Această relaţiuue ar fi imediata, daca seria sâmburelui ar fi convergenta. 

 O putem demonstra pe altă cale în modul următor : 

 Relaţia (2) ne permite să scrim : 



f R(s)N(st)ds = f f(s)N(st)ds — / N(st)S(s)ds 

 (3') "^ 



= / Ni(st .h(t)dt - 2j "i;;^- 



n = l 

 Insă avem ; 



XT . .^ *lOO*l(y) . , *n(x)*„(y) , 



^l(st) = ~~~)~^i + + Xn^ ■" • • 



seria din membrul al doilea fiiud complet convergenta, de oarece : Ni(xy)= f N(xs)N(sy)d 

 De aci rezultă că : 



/N,(st)h(tMt = y;'^ 



n= I 

 cu alte cuvinte, membrul al doilea al relaţiei (3) este nul. 



