BULETINUL SOCIETĂŢII ROMANE DE STIINŢI iS 



O valoare caracteristică şi ^jfx) o soluţiime fundamentală relativă. 

 Avem : 



9,{x) — Ap /N(xs)9,(s)ds ~ (j, 

 de unde deducem 



9,(x) + X, ['N(sx)9,(s)ds = o 

 şi, prin urmare, 



^i(x) + Xf /N(sx)9i(s) Îs = o. 



Dacă deci Xj ± — Xj, funcţiunile ^jfx) şi 9i(x) ar fi ortogonale, 

 ceeace e imposibil. Prin urmare, trebuie să avem în mod necesar 

 X, EE — 'h^ şi prin urmare X| =: + ''i. 



b) Polurile sunt simple. Intr'adevăr, dacă 



9j(x) — vi / N(xs)9j(s)ds -^^i^ o 



vom avea de asemenea 



9^(x) - vi /N(sx)(p|(s)ds = o. 



De acî rezultă că la orice soluţiune î),(x) corespunde soluţia aso- 

 ciată 9|(x), astfel că 



/9j(s)9|(s)ds + o, ' 



ceeace arată că polurile sunt simple. 



c) Fiecare sâmbure simetric strâmb are cel puţin doă valori 

 caracteristice. Intr'adevăr, mai întâiu există cel puţin o valoare 

 caracteristică, fiindcă : 



"i. = /[Ni(siS.2)]-dsjds + o, 



de oarece Nj(ssj) = — / 1 N(ss,)]-ds nu poate fi identic nul. 



De acî rezultă că avem cel puţin două, fiindcă toate rădăcinile 

 sunt câte două imaginar conju erate. 



Această teoremă se poate enunţa şi astfel : 



Un sâmbure fără constantă caracteristică nu poate fi si- 

 metric strâmb. 



d) Dacă ©,(x) este o funcţiune fundamentală , o ^{x) este func- 

 ţiunea fundamentală asociată. 



