450 BULETINUr. SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



Cette transformation a un nombre infini de points doubles discrets 

 si A(x,^) satisfait â certaines conditions. 



Faisons une transformation des coordonnees en prenant comme 

 nouveau simplex des coordonnees ie simplex dont Ies sommets 

 sont Ies points doubles de la transformation. Dans ce nouveau 

 syst^me de coordonnees Ies formules (4) prennent la forme : 



kb| kjaj 



kb.2 — kga^, 



(5) kb3.^k,5a.^ 



Les formules (3) se transforment dans 



co 



9(xj^^an9n(x) 



n= I 



00 



(6) ^(x)=2b„»„(x) 



n= I 



00 



A(x,^):..^^k„9a(x)9n(^) 

 n= I 



oii les fonctions 9n(x) s'expriment lineairement a Taide des fonc- 

 tions *l»n(x). 9n(5c) sont les autofonctions correspondant au noyau 

 A(x,^), les k|,k.,,k3, . . . sont les invers des autovaieurs arrano^ees 

 dans l'ordre de g"rand«;ur. 



Exprinif^s d'une fagon un peu differente ces resultats sont ceu\' 

 de M. Hilbert ') qui a fait l'etude rio-oureuse du probleme et a in- 

 dique les conditions que les donnees doivent satisfaire pour que les 

 developpements pr^cedents soient possibles. 



2. Les tormules (5) montrent que l'operation 



(7) •Kx)-^/'A(x,^)i)(^)d^ 



transforme la fonction ^(x) represent^e par la formule 

 9(x) aicp,(x) H- a,'f.2(x) -f- . . . . 



I) GruniUuyH, 4te mul j'e Miltt-illiiiig. 



