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dans la fonction 



'J;(x) — ajk,9,(x) + a,k,qî2(x) + 



Considerons ni.iintcnant la surface donnee par la foriiiul<; 



(8) z^ V(x,y) ^-a,kf9,(x) + a,k.f9„(x) + 



Par Ia fagon dont elle est construite et par ses propriet^s cette 

 surface a beaucoup d'analoo-ie avec Ies courbes et Ies surfaces W 

 de MM. Felix Klein et Sophus Lie ^). 



Si nous posons dans la formule (7) 9(x)=V(x,yo) oii yo est cons- 

 tante nous obtenons 'J;(x) — V(x,yo + O- P^^* cons^quent chaque 

 sectîon z = V(x,y,,) de la surface se transforme dans la section 

 z=^ V(x,yo -f- I). Ainsi la surface (8) se transforme en elle-meme 

 par l'op^ration (7 ). 



A chaque section y yo qui est une courbe continue corres- 

 pond toujours une section y = yo -j- i qui est aussi courbe conti- 

 nue. Au contraire â chaque section y = yo qui est courbe continue 

 ne correspond pas toujours une section y yo — i aussi continue; 

 la surface peut pour y^^yo — i avoir son z infmi car la serie (8) 

 etant convergente pour y = yo peut ne pas l'^tre pour y^ ^yo — i- 

 Ce fait se traduit par cela que l'equation integrale de premiere 

 espece (7) 011 z>{x) est la fonction inconnue n'a pas pour chaque 

 fonction continue ■l(x) une solution continue. 



Les surfaces z — V(x,y) deviennent pour y ^^ cxz inhnies ou nulles 

 selon qu'il y a ou qu'il n'y a pas des autovaleurs plus petites que un. 



On peut en general construire une surface z V(x,y) telle que 

 la difference des ordonnees correspondantes de deux sections y — yo 

 et y = yo 4 i soit exprimee par une fonction donnee 



z(x,yo) — z(x,yo -h O = f(x). 

 Cest la traduction de la possibilite de resoudre une equation inte- 

 grale de deuxieme espece. 



3. Les surfac(>s donnees par la formule 



(q)z = \-'(x,y)== _^^L.= ^^^ ^ a,k;?,(x) + a>;9^(x)-h 



f\^{x,y)dx a,k-;7'V,(x)dx -f a.>J P 9,^(x)dx -f- 



jouissent de quelques propri^tees remarquables. 



*) t. Klein und S. Lie. Uber diejenigen ebenen Curven,. welche durcli ein gescUlossenes 

 System von einlach unendlich vieleu vertauschbaren linearen Transformationen in sich 

 tibergeheii. — :Mathematische Amialen Bd. 4 (187 i). 



