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Ces surfaces teiident pour y = oc vers 



(io) ^ = Ji Ti(^) 



j_ 9i(x)dx 



si aj (îst (Hffcrcnt d(' zdro ct en o-eneral vc-rs 



(ti) zz^ ^^ ojx) 



/ î5u(x)dx 



si Ton a 



«j rrrz a., = . . . . :^^ «n— i O Ct a„ /'- O. 



Cette observation permet de partager Ies surfaces z V'(x,y) cn 

 classes dont chacune fournit un moyen de calculer une autofonc- 

 tion du novau A(.\:,^). En effet en partant dune fonction 



9(x) ---a,9((x) + a,9.(x) + 



ou aj est different de zero (par exemple 



A(x,^)_k,cpi(^)9,(x) + k,9,(EK,(x)+ . . . 



(){i E est considere comnie constante) on ohtient la section y i de 

 la surface z - V'(x,y) par la formule 



/"'A(x,^)î)(^)d^ 



P'n oreneral la section y^=n s'exprime par, la formule 



j^*A("){x,^)p(i)d^ 



(12) z=V'(x,n) 



rrA(n)(x,^M^)dxd^ 



./ (t.y o 



ou A(")(x,^) represente le noyau itere n fois. V'(u,n ) s'obtient ainsi de 

 V'(x,n-i) en multipliant le numerateur de V(\',n-i) par A(u,x), en 

 integrant par rapport a x et en divisant le resultat par son inteorale. 

 On peut ainsi calculer 9i(x) par une suite d'operations succes- 

 sives car Ies formules (io) et (12) donnent 



lim V'(x,n) - -^ - 9j(x). 

 "==0 / o,(x)dx 



Ju ' ' 



On obtient 9^^^) P^^^ ^^ meme procede, en partant d une fonction 

 9(x) ou «j o, a., 92^ o (par exemple A(x,^) — kj9j(^)9j(x). De la 

 meme maniere on regoit 93(x),93(x) etc. 



