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L'equation 



(I) z(x) — A,^K(x,s)z(s) :is^-^o-(x) — Xj ^ gi(x)jfi(s)z{s)ds 



ne poiirra admettre de solution que lorsque le second membre seri 

 ortliogonal aiix fonctions '-pi(x). En posant 



Ai =jfi(s)z(s)ds, 



?ik=^i(s)'J^k(s)ds, 



Pk-/g(s)'^c(s)ds, 



o\\ est par consequent conduit â ecrire le systeme 



(7) 



^lEf"^Ai = Ş,< (k=[, 2,... p) 



et â distinoucr dcux cas : 



[^ n<Cp. Le systeme (7) est impossiblc. La valeur A X, est 

 encore singuliere poiir le noyau M(x,s). 



Rrmarquons que l'eqiiatioii sans second nombrt: 



(S) z(s) — X,/lI(x,s)z(s)ds^o 



doit dans ce cas admettre une solution non identiquement nuUe. 

 Or, en faisant o-(x) ^ o, et par consequent Pk = o dans le systeme 

 (7), on aura /) equations homogenes a n inconnues. Supposons 

 que dans la matrice 



Pip t^-jp... p„p 



ii y aic un determinant dV:>rdre n different de zero. On aura alors 

 la seule solution Ak = o et l'on obtiendra une solution de rr(jua-' 

 tion (8) t-n prenant une combinaison lineaire 



z(x) = a,9,(x) + a.,9.(x) -f ... + ap?i.(x) 

 des fonctions singulieres Oifx) et en determinant Ies coeflicieiits 

 par Ies conditions 



/ri(s)z(s)ds o (i= I, 2,., . n). 



