45fi i?ulki'im;l societăţii române de ştiinţe 



Posons 



?'ik-=Jf"i(s)?k(s)ds; 



on sera conduit au systeme de n equations ă p inconnues 

 k=i, 

 (9) 2P'ikak = o (i= I, 2, . . . n). 



k — I 



Ce S3^steme determinera en geiK^ral Ies a^ Ifneairement eti fonc- 

 tion de p — n constantes arbitraires; ce nombre sera^ en general^ 

 le nombre des Solutions singulieres du noyau H(x,s) pour 



II est clair que le raisonnement que noiis venons de faire sup- 

 pose essentiellenient Tindependance lineaire des fonctions gi(x) et 

 des fonctions fi(s): ii siippose encore qu'aucune des fonctions _q-i(x) 

 n'est orthogonale a la fois â toutes Ies fonctions '-l'k(x) et que toutes 

 Ies fonctions (pk(x) ne sont pas orthogonales en meme temps â ime, 

 meme fonction fi(x). 



Supposons au contraire que Ies fonctions gi(x), . . . ,^m(x) soient 

 orthogonales â toutes Ies fonctions 4'k(x) et d^signons par Oi(x) une 

 solution particuliere de l'^quation 



z(x) — Xi/K(x^s)z(s)ds^ — ^igitx) 

 (i=:i, 2,... m). 

 Une solution de Tequation (8) sera de la forme 



k=m k=p 



z(x) = V] AkOki x) + V; ak©k(x), 

 k=i k=i 



Ies m 4" p constantes Ak et «k de vânt etre determinees par Ies n 

 conditions 



f \ C. (Ai (i= I, 2, . . . m) 



(io) jfi(x)z(x)dx— ' ^ 



o (i^m+ I, . . .n) 



Le nombre des fonctions singulieres du noyau H(x,s) sera cette 

 fois p — (n — m). 



II en serait de meme si, parmi Ies fonctions fi(x), ii y en avait m 

 orthogonales a toutes Ies fonctions 9k(x): car le systeme (9) se v€- 

 duirait alors a n — m equations. 



Enfin le nombre des fonctions singulieres du noyau H(x,s) 

 pourrait m^me etre plus grand que p, si quelques-unes des fonc- 



