BULETINUI- .SC)Cll>rrÂŢll IlOMÂNE DE ŞTIINŢE 457 



tions ,^i(x) etaient orthosfonales â toutes Ies fonctions '\f[(x) et si, 

 en meme temps, quelques-unes des equations (io) se recluisaient 

 â des identites. 



2^ n^p. Lorsque le determinant principal de la matrice (M) 

 est d'ordre />, — ce que noiis supposons — le systeme (7) donne 

 poiir Ies coefticients Ai n fonctions lineaires de n — p parametres 

 arbitraires ap+i,a,,^.2, . . . an. L'equation (I) prend alors la forme 



^ i=n-p 



z(x)~A,/K(x,s)z(s) Is a„(x)4- ^ ap+iai(x), 



ioities Ies fonctions o-o(x), a,(x) . . . etani orthogonalcs aux jonc- 

 tions -liCx). Soit Oi(K) une solution particuliere de requation 



z(x)— X|K(x,s)z(s)as -- ai(x) : 



La solution de (I) est 



k==p i = n-p 



z(x) = Oo(x)+ ;^au(pu(x)+ Y, «pW^.ix), 

 k— I i=f 



Ies n constantes ai etant determinees par Ies n equations lineaires 

 non homooenes 



Ai^ ^fi(s)z(s)ds (i== I, 2, . . . d). 



Par consequent \^ n'est plus une valetir jsingiiliere du noymi 

 H(x,sl'). 



3. Nous avons suppose S(X)=:o. Soit maintenant Xo une racine 

 de cette eqiiation - ) ; je dis que c'est une valeur singuliere de 

 H(x,s). 



En effet, en faisant dans l'equation (3) X = Ao et o-(x)-.=o, on est 

 conduit aux equations 



i = n 



i= I 

 i = n ^ 



Ak+ XoXl Ai /fk(x |ui"(x)dx := o, 

 v.n desio^nant par Ui^\x) la valeur de Ui(x) pour X — X„. 



») Lorsque le determinant principal est d'uii ordre moindre, par exemple si toutes Ies fonc- 

 tions gi(x) etaient orthogonales â une meme fonetica t/»'(x), le systeme (7) serait inctimpatilile 

 et Al 00 itinuerait â ein une valeur sin'^uliv^re du myau TTCx.s). 



3) <î ().] es'-, en «^^neral, une fon:ti->n transjen lante de k , 



