HUI.KPINUL SOCIETĂŢII ItOMÂNI': \)E ŞTIINŢE 



Soit n — p Torclre du premier mineur de §(a) qui soit diff(6rent 

 (le zero poiir X ^=: Xq ; ii est clair qu'il y aura p fonctions singulieres 

 de H(x,s) lineairement independantes. 



4. Appliquons ce qui precede au cas n = i . 



L'equation 



(11) z(x) - AJ[K(x,s)~ f(s)g(x)|z(s)ds=.h(x) 

 adincttra la solution 



i.(x)/f(s)y(s)ds 



z(x):=.y(x)-X ^,- 



I -|-X/f(s)i](s)ds 



en pusant 



y(x) — X/K(x,s)y(s)ds =r^ h(x), 

 u(x) — AjK(x,s)u(s)ds = g(x), 



si X est distinct des valcurs singiilieres du novau K(x,s) et si Ton 

 na pas 



(12) I -^-X/r(s)ii(s)ds 3= o. 



Une valeiir sin^fuliere X, de K(x,s) a p fonctions sinq-ulieres sera 

 valeiir singuli^re de K(x,s) — f(s)o^(x), si p>>i. Si p= i et si f(x) 

 n'est pas ortliog-onal â la fonction sing-uliere o(x), ni ş(x) a la 

 fonction sing-uliere associee '|(x), X| ne sera pas une valeur singu- 

 liere du nouveau noyau. 



Soit maintenant "k^ une racine de l'equation (12). Ce sera une 

 valeur singuliere de l'equation (n); ii lui correspondra une seule 

 fonction singuliere. 



5. II est clair que l'equation (12) sera en general d'une discus- 

 sion extremement difficile. X'oici pourtant quelques cas 011 Ton 

 pourra en tirer des renseigncments sur la nature et le nombre des 

 valeurs singulieres de l'equation (11). 



Soient Xj el X.^ deux poles consecutifs reels du noyau reci 

 K(x.s), d'ordres nj et n,. On aura alors 



"(^) =( V=:x)n. + •••• + (v=x)n. + • • • • -^ ^^^^^)' 



