BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 459 



v(x,X) restant fini lorsquc A varie de Xj â A^. Si inaintenant on se 

 trouve dans Tune des circonstances suivantes : 



rij pair, X|X2/f(x)ui(x)dx./f(x)u.2(x)dx<;o 

 n, impair, X ,X2ff(x)U|(x)dx. /f(x)u2(x)dx>o 



on pourra affirmer que l'equation (i i) admet au moins une valeiir 

 singuliere comprise entre Xj et X.^. 



Lorsque K(x,s) a un nomhrti fini de valeurs sinoŢulieres, ii n'en 

 est pas forcement de meme du nouveau noyau K(x,s) — f(s)jD-(x) ; 

 volei un exemple tres simple qui montre, que par le seul fait 

 d'ajouter a un noyau sans valeurs singulieres un terme de la 

 forme f(s)g(x) ou peut obtenir un noyau ayant une infinite de 

 valeurs singulieres. 



Considerons l'equation dif^rentielle 



d'^y 

 (13) d^2+^^P(x)y=o 



et cherchons-en l'integrale qui satisfasse aux conditions 



dy 



-j— = O pour X =: o. 



^ + y = opourx=i.. 

 On sera conduit â l'equation integrale 



y{x) — Xj|'^'N(x,s)p(s)y(s)ds -. o 

 eii posant 



[2 X. X ^ S. 



Cette equation integrale admet une infinite de valeurs singu- 

 lieres, comme ii resulte des recherches de MM. Hilbert et Mdrty ' ). 

 Or, on peut ecrire 



N(x,s)p(s) = K(x,s) — f(s:)g(x), 

 en posant 



^ '^-l(s-x)p(s), x^s, 



g(x)=T, f(s) = (S— 2)p(s). 

 ') C. k., 1". 150, N-os 9, Io (2S l'Y'vricr et 7 i\[ars lyio). 



