460 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



Le noyau N(x,s) est donc bien de la forme consider^e ; mais 

 K(x,s) est un noyau sans aucune valeur singuliere, puisque l'equation 



y( X ) — a/ K(x,s )y(s )ds = o 



se reduit a rf'-(|uation de Volterra 



y(x) — \j \s — x)p(s)y(s)ds = o, 



dont la solution est l'inteofrale de (13) qui s'annule, ainsi 

 que sa d6rivee, pour x o. 



On peut trouver une condition suffisante pour que, K(x,s) 

 ayant un nombre fini de valeurs sino^ulieres, ii en soit de meme 

 du noyau K(x,s) — f(s)g(x). 



Soit v(x,X) ce qui reste de la fonction u(x) apres en avoir re- 

 tranche Ies parties principales relatives â tous Ies poles : ii siifiira 

 evidemment que l'expression 



jf(s)v(s,X)ds 



soit un polynome en "X'). 



6. Voici un cas important ou ii en est ainsi. C'.'est lorsque l'on a 



K(x,s)=-:G(x,s)p(s), 



Ci(x,s) etant symetrique et defini, et p(s) une fonction finie reelle 

 n 'ayant qu'une nombre limite de sauts brusques dans Tintervalle 

 considere. MM. Hilbert et Marty ont demontre qu'un pareil 

 noyau na que des valeurs singulieres reelles, poles simples de la 

 fonction resolvante de Fredholm. Lorsque le nombre en est fini 

 on peut ecrire 



Ies fonctions sinouUeres i>\{x) satisfaisant aux relations 

 9i(x ) — Ai iK(x,s )!pi(s )ds = o, 



tandis que H(x,s) verifie la relation 



') 1 a geaeralisntidii pour le noyau i<.{x,s)~-2'fi(s)gi(x) est evidente. 



