462 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



OII aura ici 



yf(x)ui(x)dx _ A[/?i(s)p(s)g(s)ds]^^. 

 Par consequent, \^ et Xg etant deiix valeurs singulieres de iiu-nic 



sign(% on aura hien 



>.,X2/f(x)ui(x)dx./f(x)u2(x)dx > o. 



D'autre part le nouveaii noyau 



[G(x,s) — A.o-(x)§:(s)]p(s) 



ayant meme forme que le premier, ii y a reciprocite. 



Par exemple, s'il s'agit d'integrer l'equation differentielle 



d-y 

 (i6) ^ + ^P(x)y = o 



moyennant Ies conditions aux limites 



y = o pour X = o, 



dy 



-^-=o pour x= 1, 



ont fst condnit a l'equation inteorale 



y(x ) - Xyî<:(x,s)y(s).k = o, 

 en posant 



K(x,s) := ^[^ + s — ÎK — s|] p(s). 



Kn retranchant de ce noyau le produit xsp(s) on trouve 

 le noyau bien connu G(x,s)p(s), ou G(x,s) sio-nifie la fonction de 

 Grecn a laquelle conduit l'integration de (i6) avec Ies conditions 



y = o pour X = o et pour x = f . 



8. Le noyau primitif K(x,s) ayant toujours la forme G(x,s) p(s), 

 OII ri(x,s) represeiitc un noyau symetrigue et defini (positif), 

 pr<ii()ns pour former le nouveau noyau Ies fonctions particulieres 



.0-(x).::rI _ f(s) = p(s)t ,(s), 



