BULETINUL SOCIETĂŢII H()]\L\NE DE ŞTJINŢE 46ă 



la fonction f^(s) etant determinoc par la relation 



(17) /[G(x,s) - fj(s)] p(x)dx == o ') 



Je vais demontrer qiie It^ nouveaii noyau ainsi fonn<'' n'a ijiie- 

 des valeurs sino^ulieres reelles"^), 



En effet soient X,, une vaieur singuliere du iiouvcaii noy.iii. 



distincte des valeurs singulieres de l'ancien ; on aura 



I + \ (fi(s)p(s)9(s)ds = o 



(18) -^r ■ 



î)(x) — A^^ /G(x,s)p(s)9(s)ds r= I, 



oix) etant la fonction sino-uliere unique qui correspond a la vaU-ur 

 sino-uliere X = X,,. 



Des relations (18) et (17) on deduit aisement 



(19) jp(x)9(x)dx = o. 

 Supposons maintcnant que A,^ soit comphixe et soient 



\) = ^0' + '^\" . ?(^) ^' ?'W + '?"(-^)- 



On aura 



9'(x) + h"{x) — (A,; + \\") |g(x,s)p(s) I 9'(s) + i'X)"(s) I ds - I 

 9'(x) — i9"(x) — (A,/ — iX,/') JG(x,s)p(s) [cp'(s) — i^"(s)] ds --I, 

 d'oii l'on deduit, en tcnant compte de (19). 



yp(x) [o'--^(x)4-?"-(x)| dx^ 

 ^i\' 4- rA,")/|G(x,s)p(s)p(x)|9'(s) + i9"(s)||'y(x) — i9"(x)]dsdx, 



^ p(x) |o'-'(x) + 9"-'fx)| dx- 

 ^(A,,' — iX,")jjf(;(x,s)p(s)p(x) |9'(.s) — i9"(s)| l'p'ix) -\- i/'(x)| ds Ix, 

 et, puisque G(x,s) est symctricjue, 



A^"^jf(:;(x,s)p(s)p(x)|y(s) 4-i9"(s)||9'(x) — i9"(x)ldsdx .) 



<) Je siippose f[\\f j |i(x;i1x est Jiffenn/i <lt :.er«. 

 î) Les loMctioiis coiisiilerees soiU birii-entemiii riilUs, 



