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464 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMANE DE ŞTIINŢE 



Si donc Aq" etait different de zero, son multiplicateur devrati 

 etre nul; Ia pârtie imaginaire en est nulle identiquement et ii reste 



ifG(x,s)p(s)9'(s) . p(x)9'(x)dxds+ 

 ^G(x,s)p(s)9"(s).p(x)i)"(x)dxds — o 



Comme le noyau G(x,s', est defini positif, auciine des deux par- 

 ties de cette somme ne peut etre negative. On aura donc sepa- 

 rement 



(G(x,s)p(s)(p'(s)p(x)9'(x)dsdx o 



(G(x,s)p(s)9"(s)p(x)'-p"(x)dsdx — o 

 Or, Ies egalites precedentes entraînent ') Ies siiivantes 

 /G(x,s)p(s)'f '(s)ds = b 



/G(x,s)p(s)9"(s)ds^ o 

 et par consequent 



/G(x,s)p(s)(p(s)ds = o 



c'est a dire ©(x) — i et /p(x)dx— ^o, contrairement â l'hypothese. 



On doit donc avoir ^o"^^ ^5 ^^ 4^^ nous avons voulu demontrer. 



9. On peut aller plus loin et demontrer qu'il existe effectivement 

 des valeurs singulieres reelles^), 



En effet, soient X, et Xg deux valeurs singulieres cons^cutives 

 du noyau G(x,s)p(s), dont aucune ne soit singuliere pour le noyau 

 [G(x,s) — f|(s)]p(s); et soient 9 i(x) et ^.^(x) Ies fonctions singu- 

 lieres correspondantes. On aura ici 



u(x) — x/(i(x,s)p(s)u(s)ds=: I 



u(x) = "^^^J ?l(s)p(s)ds+ y^Y / 9.,(s)p(s)ds + v(x,X), 



v(x,X) restant finie pour X, ^ X ;^ X._, . Les residus relatifs aux poles 

 X| et X2 de Texpression i -j- X /f(s)u(s)ds seront donc ici 



Aijfl(s)p(,s)9i(s)ds. Jp(s)9,(s)ds et 



^2/fi(s)p(s)92(s)ds . Jp(s)9._,(s)ds. 



i) M^nly, 1. c. 



*) l'.ii siipposant que Ic iioyau luiinitil en posst;cle. 



