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Lcs relations. 



z(x) — / (i(x,s)cp(s)ds 



sont ^quivalentcs pour toute/onction inteorable p(x). 11 en resulte 

 que la fonction syniciriqiic G(x.s) est iin n )yau defini positif. 

 II est clair cjiic la fonction. 



G(x,s)— f/s) 

 OII lj(s) est line fonction continue, sera eiicore une integrale de 



(I2y 



l-T, — o, (lont la deriv ee aura la nieme discontinuite, niais (uii ne 



s'annulera plus aux extremites de l'intervalle. 

 La solution de 1 equation integrale 



(23) y(x) — XJj I (;(x,s) — f,(s)| p(s)y(s)ds o 



veriUera l'etiuation (21) et la condition y(o) r= y( i ) ; si l'on veut 

 quon ait aussi 



I dy] ^ rdy I 



[dxjx = o |dxjx= i, 

 ii suffira de determiner la fonction f,(x) par la rclation 



[^^^[G(x,s)— f,(s)|p(x)dx = o. 



Lorsque la fonction p(x) est telle que l'on a 



j^p(x)dx = o, 



on determinera fi(s) par la relation 



//G(x,z)p(x)p(z)[G(z,s)— f|(s)| dx dz=: o; 



ceci sera toujours possihle, puisque la relation 



/G(x,z)p(z):lz = o 



ne peut etre ici verifice par aucune fonction linie et integrable pix) •), 

 II est ainsi demontre que l'integration de l'equation (21) m©- 

 yennant Ies conditions (22) est possible pour une infinite de va- 

 leurs reelles du parametre X -). 



') T-e probleme tles iir;egrales })erio(liques de l'equation (2<>) a etc rameuc a l'equatinu in- 

 tegrale (23) par .M. L.\Li-:sco (C. R, 1907). 



-) Les resultats du presant travail sont applioables â tl'autres probl^mes ancore ; notani- 

 ment â ceux dont je me suiş occupe 'lans nia Thhe (Annales de l'Kcole Normale 1909, ji]). 

 55 e= 83). 



