BULETINUL SOCIETĂŢII HOMÂNE DE STIINŢK 469 



Intr'adevăr, dacă extrag-em din sâmbure părţile cară :teristice ale, 

 polilor >^i, A.,,.. .Am- cari formează tocmai cxpresiunea precedentă, 

 rămâne un sâmbure tot simetrizabil (d), care prin ipoteză numai 

 are nici o valoare caracteristică. Ueci el e identic nul (c). 



[ o. Inegalitatea lui Bessel. Fiind dată o funcţiune f( x), pentru 

 care integrala 



fc(xs)f(s)f(x) Isdx ((".) 



există, avem 



a i' + a.,- -\- H- a,;- -^ /(;(xsjf(x)f(s)ds Ix 



ap fiind coeficientul lui Fourier a,, = /f(s)'J;p(s)ds. 



Ca ^i în cazurile precedente, această inegalitate rezultă din eg-a- 

 litatea 



/G(xs) I /(x )-a ,'f |( X ) - . . . -a„9„(x)J [f(s)-a j^ ,(s)- . . . ^ a„9n(s) | dsdx — 



= /G(xs)f(s)f{x)dsdx — a/- - a.,- — ... — a„- 



observând că primul membru este positiv. Rezultă de aci că sena 



ai" + ai" + ... -f a.,- + . . . 

 este converg'entă. 



17. Teoremă asupra desvoltării unei funcţiuni în serii de func- 

 ţiuni biortogonale. 



Orice funcţiune continuă deforma 



(a) (N(xs)h(s)ds sau (b) |N(sx)h(s)ds 



este desfâşurabilă într'o serie regulat convergentă după func- 

 ţiunile 9n(x) în cazul a, sau după funcţiunile ^^„(x) în cazul b. 



In acest enunţ, N(xy) reprezintă un sâmbure simetrizabil de 

 ambele părţi: N(xy) şt h(x) sunt funcţiuni pentru care integrala ('. 

 există. 



Demonstraţia e analoagă cu acea dată în cazul sinietrii\ Mai 

 întâi seria va fi în cazul a : 



00 1 

 m care "= ^ 



h„ :=^ /f(sV%(s)ds 



