RULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 475 



3. LemăO- Un şir de funcţiuni ti, convergent in mijlocie^ 

 admite o funcţiune limită şi una singură. 



Vom arăta mai întâi că putem extrag-e din (i), iin şk aproap<^ 

 uniform convt-rq-cnt in intervalul ab. Să considerăm pentru acfMsta, 

 ansamblul funcţiunilor (i) care verifică ineqfalitatea. 



I.nn =-- f [fm(x ) — fn(x)]-dx < p 



Pentru aceste funcţiuni, ansamblul punctelor x in care : 

 I f4x)-fn(x) |>r. 



Q 



va avea o măsură u. <C — 7 ; într'adevăr, avem : 



^«•r;- < lm„ < p 



Dacă, prin urmare, voim ca «. << -r], va fi suficient să luăm p = t,"'; 

 de aci rezultă că : 



Fiind dat un număr r^ arbitrar, se poate găsi o infinitate de 

 funcţiuni ( i ), astfel ca măsura ansamblului în care diferenţa 

 lor este mai mare ca y], să fie inferioară lui tj. 



Să considerăm acum un şir oarecare convergent de numere po- 

 00 

 zitive descrescătoare: ^'Op. Fie T-ifx) funcţiunea cu indicele cel 



i.= i 

 mai mic, care verifică condiţiunea precedentă pentru y)j ; de ase- 

 menea fie f*.j(x) funcţiunea analoag-ă pentru 7].,, supusă fiind încă la 

 condiţia ca indicele său să fie superior al aceleia pe care am în- 

 semnat-o cu f*i(x), şi aşa mai departe. Şirul 



(2) f*,(x), f*2(x),..., f*„(xj.. 



răspunde chestiunii. \'a fi de ajuns să arătăm că, fiind dat un £ ar- 

 bitrai de mic, există un interval de măsură b — a — e în care vom 

 avea, începând de la o anumită valoare a lui n: 



I f;(x)-f,f(x) I <Yi (p,4^n) 



ori cfit de mic ar fi r,. Să determinăm pentru aceasta n, aşa fel 



») Se poate consulta asujua ncestei chestiuni: //. Il'eyl. Convergen/ von Keihen d/e nacli 

 Orthogonal lunktionen lortsclireiten. (Math. Ann. l!d. 67. iqoy). M. I'lanclieifl (;i<.en<lic(>iiti 

 Palerino, 1910, pag. 292). F. Ries/ (CR. tome 150, 1910, pa-j. i.;,04\ A se vedea ^i nota d-Uii 

 A. Kgorolt (CR. t. 152, [anuaiie 1911). 



