476 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTtlNŢt: 



încât să avem în acelaş timp ■/]„ <C y] i^'i r„ =^ ^ ^p < ^5 ceeace este 

 evident totdeauna posibil, de oarece r^,, şi r„ tind către zero odată 



. In aceste condiţiuni, să excludem din intervalul (ah), toate an- 

 n 



samblele în cari diferenţele funcţiunilor (2) sunt respectiv mai mari 



ca rj„, Y],!-!-!, . . . : măsura sumei acestor ansamble scoase este mai 



mică sau cel mult egală cu 



Intervalul care rămâne, a cărui măsură L este mai mare ca 

 b — a — £, este intervalul căutat. Intr'adevăr nu putem avea în 

 acest interval : 



I r,n -t- k (X) — rm(x) i ) T] (m ^ h) 



căci Tj > Y),n ; or noi am exclus intervalele în cari diferenţa func- 

 ţiunilor şirului ( 2) este rnai mare -fim. Proprietatea este astfel 

 stabilită. 



Şirul (2) tinde, deci, uniform în !« către o funcţiune f(x). Această 

 funcţiune, defmită astfel în tot intervalul, afară poate de un ansam- 

 blu având o măsură nulă, este o funcţiune limită a şirului ( i). 



Mai întâi, ea aparţine ansamblului ii, căci vom avea: ^) 



j>,.(x)-^dx< 2J,'^^|T„(X) - f,„(x)|Mx+ 2/';^^/„,^(x)dx< 2:^ + 2M 



Deci, lim 1 r|i(x)-dx există; acesta limită va fi de altfel egală cu 



/ f-(s)ds, de oarcîce funcţiunile f*n(x) tind uniform către f(x) în in- 

 tervalul 1, şi vom avea 



j^^^^r-^(s)ds<2-r] + 2M 



oricari ar ti e. Deci, lim / ^f'-(s)ds există şi ea va fi în virtutea de- 

 finiţiunii lui f(x), tocmai 



Funcfiiinc'i U\) aparţine, deci, lui ii. Avem apoi 



i 



V^-^(s)ds 



