BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE^ŞTIINŢE 477 



I'[({S) -fp(s)]Ms < 2 j;[f(s) - r.n(s)TMs4-2 /'^'[r...(s) - fp(s)l-ds 



< 2 [r^n. + Ae] + 2£, 



ceeace. ne arată că f(x) este o funcţiune limită pentru şirul (i). 



In sfârşit, această funcţiune limită este singura: să presupunem 

 într'adevăr că am avea 



lim / ^ [f(s) — fn( s)]-ds = lim P [©(s) — f.n(s ) |-ds =: o. 



= 00"^^ in = oo -^ ' 



Vom avea, pentru o infinitate de valori p, 



/^''[f(s) - Cp(s)]-^ ds - 2 f\({s) - (,{S)Y ds + 2 l\[s) - f,.(s)r^ds<s', 



ceeace ne arată că vom avea riguros : 



•b 



/"[f(3)-î(s)fds = 0„ 



. ' a 



adică funcţiunile f(x) şi ^(x) nu pot fi diferite decât într'im ansamblu 

 de măsură nulă. 



4. Teorema lui Fischer-Riesz. Fie : 



(3) ?i(x) op.^(x) . . . apn(x) . . 



un şir complect de funcţiuni ortogonale şi 

 fi f.... f„... 

 un şir de constante astfel încât seria: 



(4) f,- + f,^ + . . . + f,,-^ + ■ ■ . 



să fie convergentă. 



Existăofimcţiunei{x}.aparţinăniîluiil, si numai una sin- 

 gură, care admite ca coeficienţi ai lui Fourier in rapoi't cu 

 şirul (3), constaniele f„. 



Condiţiunea (4) este necesară şi suficientă. 



Această teoremă importantă a fost demonstrată pentru întâia 

 oară de către d-nii E. Fischer şi F. Riesz. Fa are avantajul că con- 

 ţine actualmente, sub o formă imediat utilizabilă în analiză, o parte 

 esenţială din cercetările moderne asupra ecuaţiilor lineare cu o in- 

 finitate de variabile. 



Condiţiunea (4) este evident necesară, de oarece se cere ca func- 



