478 DULETIM'L SOCIETĂŢII HOMÂNE DE ŞTIINŢE 



ţiunea f(x) să aibă pătratul său, soniabil. Să demonstrăm că această 

 condiţiune este şi suficientă. Să considerăm pentru aceasta şirul: 



f,.(x) - (^v^ (\) -j- f.,?.(x) -f- . . . + f„?„(x) (n = 1,2 . . . o.), 



Avem : 



fjUs) - fn(s)J- ds = f„- + f,,^ ,--; -l- . . . -I- ij^ 



şi prin urmare: 



^'"^ r'[fn(s)-Us)]-ds==o, 



n\,n — coJ ii 



Şirul f„(x) convergează deci în mijlocie, în intervalul ab; el 

 d('fineşte astfel o funcţiune f(x) perfect determinată, afară poate de 

 un ansamblu de măsură nulă. Funcţiunea astfel definită este func- 

 ţiunea căutată. Va trebui pentru aceasta să arătăm că : 



f,. =. jf(s)?p(s)ds, 

 Insă avem: 



jy^^) - f„(s)] 9,,(S) Isj "' ^jyi^) - fn(s)|-ds£'Vn'-'^^)^S < £ 



lim / 'f„(s)cp,,(s)ds = r'f(s)9,,(s)ds 



ŞI prin urmare : 



Insă : 



/f„(s)9p(s)ds = fp n > p. 



Egalitatea (4') este astfel stabilită. 



Am o-ăsit deci o funcţiune care admite constantele f,,, drept con- 

 stante Fourier, în raport cu şirul (3), Ka este şi singura funcţiune 

 care se bucură de această proprietate, fiin Ică dacă ar mai fi încă 

 una '-p(x), diferenţa f(x) — '\){x) ar fi ortogonală tuturor funcţiunilor 

 9„(x), ceeace este imposibil, de oarece şirul (3) este complect. 



5 . Teorema d-lui Schmidt asupra sâmburilor nesimetrici. 



I)-l F. Sclunidt a publicat, în Dissertaţia Inaugurală, o extr^n- 

 siune a teoremei sale, pentru cazul sâmburelui nesimetric. 



FieN(xy) un sâmbure nesimetric aparţinând lui i> şi să însemnăm: 



Nxy)^ /Nfsx)N(sy)ls 

 K(xy)=JKVxs)N(ys;ds. 



