480 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



în care : 



-];„(x) = XnjN(xs)ap,(.s)ds. 



Iată acum teorema d-lui Schmidt : 



Orice Juncţiune continua având forma a sauh 



(a) /N(xs)h(s)ds (b) jN(sx)h(s)ds 



se poate desfăşură într'o serie regulat convergentă de func- 



fi*uni '^n(x) sau cpn(x), după cum funcţiunea are forma a sau b. 



Vom demonstra teorema în cazul a ; în cazul b, demonstraţia 



este identică. 



» Coeficientul lui Fourier al funcţiunii (a), în raport cu '{^„(x) este 



JN(xs)'];n(s(h(s)ds = ^Jh(s)9n(s)is 



astfel încât desfăşurarea căutată, ar fi 



f(x)= Yj^^""! /h(s)9n(s)ds^ ^ /N(xs)9,Xs)ds /h(s)?,,(s) îs 



n=l ''" -^ n=r^ ^ 



Această serie e regulat convergentă, în virtutea raţionamentului 

 aplicat la teorema Hilbert-Schmidt. Insă ea are aceiaşi coeficienţi 

 ai lui Fourier ca şi funcţiunea (a), după chiar definiţiunea funcţiu- 

 nii f(x) ; vom avea deci 



/N(xs)h(s)ds = f(x) 



Această teoremă are importanţa sa proprie, fiindcă ea dă des- 

 voltări în serie după funcţiunile a)n(x) sau <J^n(x) pentru o clasă de 

 funcţiuni mai întinsă decât aceea dată de teorema Hilbert-Schmidt, 

 aplicată direct sâmburilor N(xy) sau N(xy). 



6. Teorema d-lui E. Picard ')• Ecuaţia integrală de prima 

 speţă 



/N(xs)h(s)ds = f(x) 

 admite o soluţiune şi una singură în O, dacă seria 



(9) Vf,2+x,V+...+XA-+... 



este convergentă. Sâmburele Ni^xy) este presupus închis', condi" 

 ţiunea (9) este necesară şi suficientă. 



1) E. Picard. Un theor^ine general sur Ies equations integrales de premiere esp^ce. (C. R. 

 14 Juin 1909) et Rendiconti di Palenno (1910, t. 29). 



